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Université de Toulouse Université Toulouse III - Paul Sabatier

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23 janv.

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choix du cours optionnel

Au second semestre vous avez une option : vous pouvez choisir le cours d'arithmétque ou le cours de graphes.

Voici les syllabus de ces cours. Dites moi votre préférence, si vous en avez. J'essaierai de faire des groupes équilibrés  (en nombre). 

Cours "Arithmétique" :


Ce cours est placé sous le haut patronage du classique "An Introduction to the
Theory of Numbers" de Hardy & Wright. Toutes les méthodes enseignées en cours
seront illustrées sur des problèmes classiques (primalité; équations diophantiennes,
telles l'équation de Pell-Fermat; représentabilité d'un entier par une forme quadratique,
comme les sommes de deux ou de quatre carrés ...).

Chapitre 1 : Nombres premiers et fonctions arithmétiques (arithmétique élémentaire, convolution de Dirichlet et inversion de Moebius, tour d'horizon sur quelques théorèmes et conjectures célèbres)
Chapitre 2 : Approximation diophantienne et fractions continues. (Mesure d'irrationalité. Théorème de Liouville. Fractions continues. Entiers quadratiques.)
Chapitre 3 : Séries et produits infinis formels. (Partitions d'un entier. Identités d'Euler, du triple produit de Jacobi et des nombres pentagonaux.)
Chapitre 4 : Résidus quadratiques. (Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.)
Chapitre 5 : Formes quadratiques entières. (Représentabilité d'un entier par une forme quadratique. Classes d'équivalence. Réduction.)
Chapitre 6 : Géométrie des nombres (convexes et réseaux, théorèmes de Minkowski).

Pré-requis : 
Algèbre linéaire, topologie, analyse réelle, propriétés de Z/nZ. On n'emploiera
que des méthodes "élémentaires": ni algèbre commutative ni analyse complexe.

Ouvrage(s) de référence : 
Outre Hardy & Wright : Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers ;
Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory ;
I. Niven, H. S. Zuckerman et H. L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers



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Cours "Graphes" :


L'objectif de ce cours est de présenter des notions de base ainsi que des méthodes génériques de combinatoire et théorie des graphes. Par les thèmes et les exercices choisis on pourra montrer que ces outils ont des applications dans les autres domaines des mathématiques et développer aussi des compétences de modélisation. Un autre intérêt de ce module est de traiter de manière très élémentaires des notions intéressantes de topologie sur les graphes, qui pourront aider à la compréhension de la topologie générale.

Contenu : 
Dénombrements :
    Compter avec des applications
    Principe d'inclusion-exclusion
    Méthodes de séries génératrices
    Exemples classiques (applications, combinaisons avec ou sans répétition, injections, surjections, partitions d'entiers, permutations avec structure particulière, nombres de Catalan...)
Graphes :
    Notions de base sur les graphes (cycles, arbres, sous-graphes, graphes induits, mineurs..)
    Connexité et k-connexité, théorèmes de type "max flow-min cut"
    Cycles Eulériens, Hamiltoniens, arbres couvrant
    Graphes planaires, colorabilité, caractéristique d'Euler-Poincaré, caractérisation en termes de mineurs exclus
    Si le temps le permet, on pourra aborder d'autres thèmes comme la géométrie combinatoire des polytopes, les bases de la théorie de Ramsey et ses application, l'étude des permutation aléatoires, ou les questions algorithmiques liées à l'optimisation combinatoire.


Pré-requis : 
Notions de base de théorie des ensembles et sur les applications, séries entières, réduction en éléments simples.

Ouvrage(s) de référence : 
"Graphs and applications, an introductory approach", J.Aldous et R. Wilson. The Open University. Springer.
"Discrete mathematics", N. Biggs, Oxford University Press.
"Generatingfunctionology", H. Wilf, Academic Press.
 

Dates
du 9 janvier 2018 au 31 janvier 2018

Date de mise à jour 9 janvier 2018


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