* trois distances naturelles sur un produit fini ;
* une distance sur un produit infini dénombrable d'espaces métriques
$D = \sum 2^{-n} \inff {1, d_n (x_n,y_n)}$
* si $d$ est une distance sur $X$ alors $\inf{1,d}$ et $d \slash (1 + d)$ sont des distances qui font de $X$ un espace métrique borné.
Si $\phi : \R+ dans \R+$ est monotone croissante, sous-additive et vérifie $\phi (t) = 0 ssi t = 0$, alors $\phi \circ d$ est une distance sur $X$
- Comparaison des distances:
* deux distances sont fortement equivalentes (ou Lipschitz equivalentes) si leur rapport est majorée et minoré par des constantes positives.
* Exemples : distances associées à des normes equivalentes, les distances naturelles sur un produit fini.
* si $d$ est une distance sur $X$, $\inf{1,d}$ est une distance sur $X$ dominée par $d$, mais en général elles ne sont pas fortement equivalentes.
cependant elles ont les mêmes boules de rayon assez petit, donc elles définissent la "même notion de convergence" pour les suite.
-Topologie d'un espace métrique:
* Notion de voisinages, ouverts, fermés
* les boules ouvertes (resp. fermées) sont des ouverts (resp. fermés)
* Notion de distances topologiquement equivalentes : si $d$ est une distance sur $X$, $d$, $\inf {1,d}$ et $d (1 + d)$ sont deux à deux topologiquement équivalentes sur $X$.
Notions de Topologie :
topologie d'un espace métrique comme l'ensemble des ouverts de $(X,d)$ et donné les 3 propriétés qui conduisent aux axiomes d'une topologie
sur un ensemble avec des exemples : la topologie grossière, la topologie discrète, la topologie de la convergence simple.
comment on peut définir une topologie par la famille des voisinages de chaque point.
* Suites convergentes, limite
notion d'espace topologique séparé ou Hausdorff et montré que la limite d'une suite est unique lorsqu'elle existe comme dans le cas d'unespace métrique.
défini la notion de fonction continue en général et sa caractérisation par les suites lorsque on est dans le cas métrique.
notion de suite extraite et donné la définition d'un espace métrique compact.
théorème de Bolzano-Wieirstrass sur $\R$ et donné comme corrollaire que sur $R^N$ muni de la topologie canonique
les compacts sont les fermés bornés.
notion de suite de Cauchy et d'espace métrique complet, espace de Banach, espace de Hilbert.
*fonctions uniformément continues continues,
applications lipchitziennes entre espaces métriques,
applications linéaires continues entre espaces normés.
Complets :
*les espaces métriques complets avec quelques propriétés: tout sou-espace fermé d'un complet est complet, un produit fini d'espaces complets est complet.
exemples d'espaces complets avec quelques indications pour en démontrer la complétude.
- les $l^p$ avec $= 1, 2, \infty$.
- l'espace des fonctions bornées d'un ensemble quelconque à valeurs dans un espace métrique complet.
- les espaces des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles ou plus généralement à valeurs dans un espace métrique complet.
- les applications linéaires continues avec la définition
de la norme d'opérateur.
- le théorème du point fixe avec les grandes étapes de la démonstation
- quelques applications du thm du point fixe aux équations intégrales ou différentielles
- le théorème du point fixe avec paramètre très utile dans la preuve du théorème d'inversion locale.
- le complété d'un espace métrique : une idée de la construction avec en préambule le théorème de prolongement des applications uniformément continues
*l'espace des fonctions continues sur un segment est complet pour la norme de la CU et exemple d'équation intégrale de type Fredholm que l'on peut résoudre à l'aide du thm du point fixe.
Les opérateurs linéaires définis par des noyaux, leur norme et application du thm du point fixe dans ce contexte.
Notion de série convergente dans un espace normé et du critère de Cauchy pour les séries dans un espace de Banach: toute série normalement convergente est convergente.
Comme application : l'espace des $L (E)$ muni de la norme d'opérateurs est complet lorsque $E$ est complet
L'ensemble des opérateurs linéaires inversibles d'un espace de Banach est un ouvert.
Notion de spectre en liaison avec la condition sur les opérateurs intégraux.
- un peu d'analyse hilbertienne avec comme objectif le théorème de projection dans les espaces de Hilbert.
Le théorème du point fixe classique et la version avec paramètre en vue des applications au THM des fonctions implicites.
le théorème de projection et ses différents corrolaires
en particulier la décomposition orthogonale.
le théorème de representationde F. Riesz (pas démontré).
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*les préliminaires sur la topologie générale:
Espaces topologique: ouverts, voisinages, base d'ouverts, bases de voisinages, fermés, adhérence, intérieur frontière,
- Convergence de suite et unicité de la limite lorsque l'espace est séparé.
- Continuité des applications, caractérisation globale (image réciproque d'un ouvert est un ouvert), homéomrphismes
